11.2.1 三角形的內(nèi)角 （第1課時）

學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、理解三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容，能應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決一些簡單的實際問題。 2、首次經(jīng)歷利用輔助線進行證明，感受輔助線的作用，并對輔助線的使用形成初步的認(rèn)識。 重點：三角形內(nèi)角和定理的證明和應(yīng)用。 難點：三角形內(nèi)角和定理的推理過程以及輔助線的使用11.2.1三角形的內(nèi)角

閱讀P11-13，思考下列問題： 1.三角形的內(nèi)角和是多少 ？ 2.如何證明三角形內(nèi)角和定理 ？

你有哪些方法可以驗證三角形內(nèi)角和是180°.方法一:通過具體的度量,驗證三角形的內(nèi)角和 為180°.叫度量法。 然而，數(shù)學(xué)中形狀不同的三角形不計其數(shù)，你能用量角器一個一個測量完嗎?于是我們想能否找到一種科學(xué)的方法來證明所有的三角形內(nèi)角和都是180°呢？

活動一，拼剪法——驗證三角形內(nèi)角和（1）在事先準(zhǔn)備好的三角形紙片上標(biāo)上三個內(nèi)角的號碼1、2、3如圖 213（2）動手操作，將∠1撕下,按右圖拼在一起,其中∠A的頂點與∠C的頂點重合, 它的一邊與AC重合，將∠2撕下拼在∠1的右邊，（跟隨幻燈片演示操作）。圖（1）思考： ∠1＋ ∠２＋ ∠３＝？

（3）動手操作，將∠2與∠3撕下,按下圖拼在頂點A一起（跟隨幻燈片演示操作）。AＣB思考： ∠1＋ ∠２＋ ∠３＝？ 　

為什么要證明 　　按照上面的方法,已經(jīng)可以驗證一些具體的三角形的內(nèi)角和是180°,但是由于形狀不同的三角形有無數(shù)多個,我們不可能通過上面的辦法一一驗證.再加上其驗證過程中可能存在誤差,不能保證其有效性.所以我們需要一種能證明任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°的方法.這個方法就是—證明.

活動二，說一說——推理證明三角形內(nèi)角和定理師: 如果我們不用剪、拼的辦法, 可不可以利用推理論證的方法來證明這個定理呢?現(xiàn)在就讓我們一起來探索這個問題吧! 思考？（１）在證明之前我們要將文字語言轉(zhuǎn)化成圖形語言，圖形你會畫嗎？ （２）圖形畫好了，還要將文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言，寫出已知什么？求證什么？怎么寫呢？（3）怎樣用符號語言寫出推理說明的過程呢？

三角形的內(nèi)角和等于180°.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C是它的三個內(nèi)角. 從剛才拼角操作過程的過程你能想出證明的思路嗎?求證： ∠A+∠B+∠C=180°

21CBA證法1：過A作直線EF ，使EF∥BA.∵ EF∥BA∴∠B=∠2 (兩直線平行,內(nèi)錯角相等)同理 ∠C=∠1∵∠2、∠BAC 、∠1組成平角，∴∠ 2+∠BAC +∠1 =180° （平角定義）∴∠B+∠BAC +∠C =180° （等量代換）

∴ ∠A=∠1 (兩直線平行，內(nèi)錯角相等) ∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等) ∵∠ACB 、∠1 、∠2組成平角， ∴∠ACB +1+∠2 =180°（平角定義） ∴∠ACB+ ∠A+∠B =180°（等量代換）21CBA證法2：延長BC到D，過C作CE∥BA，

從上面的兩種證明方法中，大家能否找到它們的異同點？它們的思路是否一致呢?相同點: 都是把三角形的三個內(nèi)角拼到一起，根據(jù) 平角的定義證明三角形的內(nèi)角和是180°; 不同點:輔助線的作法不同。

在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添加的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線. 為了證明三個角的和為180°,轉(zhuǎn)化為一個平角，再利用平行線的性質(zhì)就能解決。這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.

類似方法 證法3已知：△A B C. 求證：∠A +∠B +∠C=180° 證明：在BC上取一點D，過點D作DE∥BA， DF ∥CA 　∴ ∠BDF＝ ∠C，∠EDC＝ ∠B (兩直線平行，同位角相等） 　　∠EDF=∠DEC=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 　D∵ ∠BDF＋ ∠EDF＋ ∠EDC＝１８０ ° 　∴ ∠A＋ ∠B＋ ∠C＝１８０ °

∴∠B=∠BAE (兩直線平行,內(nèi)錯角相等) ∠EAB+∠BAC+∠C=180° (兩直線平行,同旁內(nèi)角互補) ∴∠B+∠C+∠BAC=180°CBA證法4：過A作AE∥BC，其他思路方法結(jié)論：三角形的內(nèi)角和等于180°.

例1 如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù)解：∵ ∠BAC=40°， AD是△ABC的角平分線∴∠BAD=∠BAC=20° 在△ABC中 ∴∠ADB= 180°－ ∠B － ∠BAD= 180°－ 75° －20°= 85°

共同做一做 例2如圖C島在A島的北偏東50°方向。B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？ 解： ∠CAB= ∠BAD-∠CAD=80°-50°=30° 由AD∥BE，可得 ∠BAD+∠ABE=180° 所以∠ABE=180° -∠BAD=180°-80°=100° ∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60° 在△ABC中 ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB =180°-60°-30°=90°北北DEABC答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°. 從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.

８2 ° 1 在△ABC中，∠A=５5°，∠ B=43 ° 則∠A CB= . ∠ ＡＣＤ＝___ 2 在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 則∠C＝____度。 3在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4，則∠A = ∠ B= ∠ C= ９８° 50 鞏固練習(xí)80 °40 °60 °

5一個三角形中最多有 個直角？為什么？ 6 一個三角形中最多有 個鈍角？為什么？ 7一個三角形中至少有 個銳角？為什么？2118任意一個三角形中,最大的一個角的度數(shù)至少為_________60°4.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,則△ABC是 三角形 ________直角9 教材P13 練習(xí)1,2題

練一練 1、 如圖，從A處觀測C處時仰角∠CAD=30°，從B處觀測C 處時仰角∠CBD=45°，從C處觀測A、B兩處時視角 ∠ACB是多少？解：由∠ABC+∠CBD=180° 可得∠ABC=180°-45°=135° 在△ABC中 ∠ABC+∠CBA+∠ACB=180° 所以∠ACB=180°- ∠ABC- ∠CAD =180°-135°-30° =15°

課本13頁練習(xí)2、如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD，其中∠A=150 °，∠B=∠D=40 °。求∠C的度數(shù)。

課本13頁練習(xí)2、如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD，其中∠A=150 °，∠B=∠D=40 °。求∠C的度數(shù)。解： ∵四邊形ABCD是左右對稱的 ∴ ∠ＢＡＣ＝ ∠ＣＡＤ＝　　 ∠BAD = x 150 ° =75 ° 在 △ ABC中， ∠Ｂ＋ ∠ＢＡＣ＋ ∠ＡＣＢ＝１８０ ° 　　　 ∠ＡＣＢ＝ １８０ °－ ∠Ｂ－ ∠ＢＡＣ 　　　　　　　＝ １８０ °－75 °－４０ ° 　　　　　　?。剑叮?° 在 △ ACＤ中　同理可求： ∠ＡＣＤ＝ ６５ ° ∴ ∠ＢＣＤ＝ ∠ＡＣＢ＋ ∠ＡＣＤ 　　　　?。?６５ °＋ ６５ ° 　　　　?。剑保常?°

這節(jié)課你學(xué)到了什么?為什么要證明? 你掌握了幾種內(nèi)角和的證明方法? 你會應(yīng)用內(nèi)角和定理去解決一些問題嗎?

作業(yè)：P16：5、6